考研数学一78题，作为考研数学中的重要题目，考察了函数的极限与连续性这一核心概念。本文将围绕这一概念展开，从基本定义、性质、运算法则及实际应用等方面进行深入剖析，以期为考研学子提供有益的复习指导。
一、函数的极限与连续性的基本定义
1. 极限的定义
函数的极限是微积分学中的一个基本概念，用来描述当自变量趋近于某一点时，函数值的变化趋势。设函数f(x)在点x=a的某邻域内有定义，若存在一个实数A，使得对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称函数f(x)当x→a时的极限为A，记作lim f(x) = A。
2. 连续性的定义
函数的连续性是函数性质的一个重要方面。若函数f(x)在点x=a的某邻域内有定义，且lim f(x) = f(a)，则称函数f(x)在点x=a处连续。若函数f(x)在其定义域内的每一点都连续，则称函数f(x)在其定义域内连续。
二、函数的极限与连续性的性质
1. 极限的性质
（1）唯一性：若函数f(x)在某点x=a的极限存在，则该极限是唯一的。
（2）保号性：若函数f(x)在点x=a的极限为A，则对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有f(x)>A或f(x) （3）保界性：若函数f(x)在点x=a的极限为A，则存在正数M，使得|f(x)|≤M，对于0<|x-a|<δ成立。 2. 连续性的性质 （1）四则运算法则：若函数f(x)、g(x)在点x=a处连续，则它们的和、差、积、商（分母不为0）在点x=a处也连续。 （2）复合函数的连续性：若函数f(x)在点x=a处连续，函数g(x)在点x=f(a)处连续，则复合函数g(f(x))在点x=a处连续。 三、函数的极限与连续性的运算法则及应用 1. 运算法则 （1）夹逼准则：若函数f(x)、g(x)、h(x)满足f(x)≤g(x)≤h(x)，且lim f(x) = A，lim h(x) = A，则lim g(x) = A。 （2）单调有界准则：若函数f(x)在区间[a, b]上单调且有界，则f(x)在该区间上存在极限。 2. 应用 （1）证明函数的极限存在：利用夹逼准则和单调有界准则，可以证明一些函数的极限存在。 （2）判断函数的连续性：利用函数的连续性性质和运算法则，可以判断函数在某个区间上的连续性。 函数的极限与连续性是考研数学一78题的关键概念。通过对这一概念的定义、性质、运算法则及应用进行深入剖析，有助于提高我们对这一知识点的理解和掌握。在备考过程中，我们要重视这一知识点，做到理论与实践相结合，以提高解题能力。 参考文献： [1] 张宇. 张宇考研数学系列教材[M]. 北京：中国政法大学出版社，2018. [2] 李尚志. 李尚志考研数学系列教材[M]. 北京：清华大学出版社，2019. [3] 李永乐. 李永乐考研数学系列教材[M]. 北京：北京理工大学出版社，2020.
